2年 算数の記事 (1/3)

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かけ算九九のページ
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九九のきまり


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九九表デジタルコンテンツ


スーパー九九表

昔の九九

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1.「口遊」を教材に
「口遊(くちずさみ)」とは、970年に源為憲によって書かれた平安貴族子弟のための教科書である。
この中に九九を扱ったページがある。
この九九を子どもたちに出合わせれば、現在習っている九九の良さや特徴についてについて考える機会になると思い、授業で取り組んでみた。
なお、原書のままだと見づらいと判断し、ワープロで打ち直してひとつひとつの式を四角で囲んだものを子どもたちに提示した。

2.昔の九九を見て気づいたこと
まず、子どもたちに今から千年くらい前に子どもたちが九九を習っていたという話をした。
そして、その九九(右の図)を見せ、気づいたことを発表させた。
「〃は前に出てきたものを表していると思う。だって、9×9=81だから。」
「卌は40だと思う。わけは、7×7=49だから。」
「だったら、縦一本増えるごとに10を表しているんじゃない?十=10、廾=20、卅=30になると思う。」
「全部、漢字。」
「順番がバラバラ。」

3.自分たちが習った九九と比べる
「順番がバラバラ」という話をきっかけに、見た目で気づいたことから、自分たちの習った九九と比べた違いについて発表されるようになった。
「1の段から探すと、下から出でくる。」
「かけられる数が1つずつ減って並んでいる。」
「昔の九九は、かける数でまとめている。」
「反対になる九九がない。」
 実際に反対になる九九がないかどうか確かめさせるため、自分たちが習った九九表を提示し、昔の九九と同じものに印をつけさせていった。
全部確かめ終わると、また新しい気づきが出てきた。
「9の段が1こしかない。」
「昔の九九は半分しか習っていない。」
「昔の九九は覚えにくそう。」

九九プリント


百ます計算
1から9の段までの九九を百ます計算のように、順番に、またはランダム順にPDFファイルに出力します。

できるよ!九九
かけ算九九の練習プリントです。問題の順番がどんどん入れかわります。かけ算九九の81ます計算もあります。九九を覚える小2の学習にご利用下さい。

○と□のかけざんパズル
九九を覚えたての生徒向けに作成したかけ算九九を使ったパズルのプリントです。簡単な操作で数字が入れかわります。形式を調節できるプリントもあります。

九九パズル


九九パズル


九九パズル②

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三角形と四角形

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九の段の秘密?

九の段の秘密?
突然ですが、九の段についてです。

9×1=9
9×2=18
9×3=27
9×4=36
9×5=45
9×6=54
9×7=63
9×8=72
9×9=81

ですよね。

18と81
27と72
36と63
45と54

のように、逆になってるって知ってました?
これって常識ですか??
みんな知っていることですか??


しかも、「どうして、逆になるの?」と聞かれたのですが、答えられません!!

9×10、9×11、9×12・・・と続けて計算してみても、その後はそういう法則ではないみたい。


「どうやって、子供に説明したら良いですか?」と聞いたんですけど、
「九の段ということは、9ずつ足していくってことでしょ?ってことは、10足して1引くの繰り返しだから、1の位は、1ずつ減って、10の位は1ずつ増えてるでしょ?」

九九は、他にもいろいろ法則があるそうです。
7の段は、1の位が順番に繰り返される・・・とか。

ぜひ皆さんも探してみてね!!

掛け算くく

【アイウエオの秘密】「掛け算くく」
「掛け算九九」

「掛け算」を「九九」と書いて、「くく」と読む理由とはなぜだろうか?

それは、「白髪神社」の祭神が「九九理姫(くくりひめ)」と呼ぶことと関係してる。

このことは、百(100)と九九(99)と同じである事を示してる。

「お前百まで、わしゃ九十九まで、共に白髪の生えるまで」と言われてることからもわかる通りである。

百(100)=九九(99)。

百の音は「はく」で、つまり白と同じである。

99=100即ち、百=白、故に99=白で、白に一加えると百になる。

空海は、九番札所を「法輪寺」と名付けている。

法の輪とは、宇宙の法則、それは、白の本義のオールマイティー、ナッシングの意味に通じる。

従って、「九十九」=「百」=「白」=「オールマイティー」=「ナッシング」=「法の輪」=「宇宙の法則」。
また、9X9=81、ここでも空海は、八十一番札所を「白峰神社」と名付けてます。

「白峰」=「白烽(はくほう)」⇒太陽光線=発光=白光からも、「白」=「オールマイティー」=「ナッシング」=「法の輪」=「宇宙の法則」なる意味がある。

「九九」(くく)は、白でオールマィテーで、ナッシングで、宇宙の法則たるを示すのであり、宇宙の掛け算なんだろうなあと思います。

九九の秘密 ジオボード


九九の秘密

時計の文字盤のように、0番から9番までの画鋲が打たれている木の板。
頂点の0番の画鋲から長い紐が伸びている。
これが先生の手づくりの「九九版ジオボード」
これを使って九九の秘密に迫るのがこの時間の狙いである。

まずは3の段で練習。
「答えの1の位の数字に順番に紐をかけていきます」
「さんいちが3」だから、紐は0番の画鋲から3番の画鋲へ、
「さんにが6」だから次は6番に引っ掛ける。
「さんし12」は2番の画鋲へ。
3、6、9、2、5・・・と紐をかけていくと、ボード上に模様が現れた。

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「すごーい。星みたい」「やってみたーい」と3年生のクラスは沸いた。
一人ひとりボードを受け取りやってみる。
九九の好きな段でいい、ブツブツト九九を唱えながら手を動かし、
現れたのは・・・星形、五角形、十角形、段が違えば形も違う。
友だち同士で形を見せ合い、「ねぇ、それ何の段?」

規則性のあるきれいな模様が子どもたちは大好き。
数の世界を形で表現できれば、計算だけより印象に残る。

みんなが作った中から、先生が7枚を黒板に並べた。
「何か気づきませんか?」と先生。
「6の段と4の段が同じ星形」とひとりの子どもが声をあげる。
さらに近くの席の子どもが、「足すと10になる段は同じ形」と新たな仮説を披露。
「6の段と4の段は足して10ななるね。でも、偶然では?」と先生。
すると別の子どもが「9の段と1の段も同じ形(十角形)になる」と援護射撃。
「じゃあ、2の段と8の段は同じ形かな?」と先生。
2の段は五角形。みんなで8の段をつくると、予想どおり五角形が現れた。

数のきまりや関係を考える経験が、複雑な計算や図形問題などを解く時にも役立つと先生。

先生は11の段で十角形を作った子どものボードをみんなに見せた。
「どの段と形が一緒かな?」と先生。
「1の段と9の段」と子どもたちが声をそろえる。
「何で一緒になるの?」と先生。
1の段と11の段は、1の位が同じだから形も同じ。これはすぐに納得。
問題は9の段。
先生は1と9の段の答えを黒板に書き出した。

1の段 ・・・ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9の段 ・・・ 9 18 27 36 45 54 63 72 81

「1の位の数、違うじゃない? 何で形が同じなの?」と先生。
ひとりの子どもが立って、「1の段と9の段は反対回り」と、指でぐるっと円を描いた。
1の位の数は順番が逆に並んでいるのだ。
3の段と7の段でも、1の位はやはり同じ数が逆に並んでいる。

「合わせて10になる数がなぜ同じ形なのか、小学生には少し難しいが、
まずは数のきまりに触れる体験をしてほしい。
道具を使う作業なら子どもたちも、自分で考えたり誰かに説明したりしやすい」と先生。


確かに、足すと10になる段は同じ形である。
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そして、5の段は次のようになる。

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さらに、足すと10になる段の、それぞれの九九の答えの1の位を足すと10になる。
正確には、10と0が存在するので、「1の位を足した答えの1の位は0になる」ということだ。
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かけ算九九,江戸時代の風景

かけ算九九,江戸時代の風景

かけ算九九の呼び声を文字にするとき,たいていは「三四 12」などと,漢数字→アラビア数字の順に書いています。
ふつうの数字ではなく,かけ算九九であることへの識別が高くなります。こういう工夫は,良い工夫だなと感心しています。

アラビア数字が日本で普及したのは,明治時代に小学校で教えるようになってからですから,それ以前には漢数字で「三八 二十四」と表していました。
また,大字(壱・弐・参など)を使った表し方もありました。
それが,先日以来読んでいる江戸時代の農業専門書『百姓伝記』(下巻)に出てきました。
「一壱の一」「一一の壱」の二種類です。感動しました。

九九を使った表現として,「五七日」も出てきました。今の時代は人が亡くなってから35日目の日をさしますが,この本では農作業の35日の意味で用いています。
この「五七日」というのも,面白い表現で「7日が5つ分」という意味になります。小学校で教えるかけ算の意味(5が7つ分)とは逆になっています。
こういうところに気がつくと,昔の九九の意味は,今と同じだったのか,逆だったのか,どっちでもよかったのか。こんな所が気になってきます。
「五七日」というのは仏教で使われていた表現ですので,それが農業にも応用されて使われたのではないかと推測しますが,このあたり,今後の読書課題になりそうです。

b8598_292江戸時代に入り,かけ算九九は「一一が1」と一の段から唱えるようになりました。
これと,世界観を表す「天地人」とを結びつけた云い伝えのような話しも載っていました。

一は易で物事の初めとされ,「天」。
一一と続くと,「天地」の心を表します。
一壱の一となると,「天地人」の意味になります。
世界は,「一一が1」から始まるという意味です。

こういうことが書かれていると云うことは,九九は物事の全体(始まり・終わり)を象徴する事例だったのだろうと思います。ちょっとした,江戸時代の生活思想をみた気持ちになりました。

1680年代に易に及んで文章が書けるのですから,これを書いた人(不明)は,ただの農民とは思えません。書物を手にでき,それが読め,しかも,かなり若い頃から師匠について学んでいた人と思えます。

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九九 宝を隠せゲーム

九九の学習ゲーム

「宝を隠せゲーム」です。昔をご存じの方には「かけ算大海戦」と言った方が伝わりが良いかもしれません。

 やり方は,至って簡単です。

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① 右のようなプリントを配り,かけ算の段を一つ決めます。たとえば,「5の段」と。

② 5の段の九九の答えを,マスの中に書きます。順番に書いても,あちこち散らしながら書いても,OKです。

③ 3つのマスに,「宝」を隠します。宝の絵を3つのマスに書き込みます。「○」をつけるだけOKです。

④ 先生が,名探偵か大泥棒になって,宝を見つけに行きます。
   先生が,「5×3!」と言ったら,「15」と書いてあるマスに×をつけます。もし,そこに宝(○)があったら,宝は見つかった事になります。

⑤ 先生は5の段の九九を,合計6つ言います。
  宝が1つでも残った子が勝ちとなります。

  こういうゲームです。
  このゲームの特徴は,先生が九九を1つ言ったときから,教室がドーンと盛り上がることです。
  そうして,ゲームが終わると,宝を全部取られた子を中心に,「もう一回,やりたい!」と声が上がってきます。「明日ね!」と言って,明日につなげます。  
   
  

九九を楽しむアイディア教具 ③

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3、九九カルタ
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やり方

 ①裏に九九の式を書く

 ②表にその答えの数だけシールを貼る (アレイ図のように)

 ③教師が式を読み上げる

 ④大きな声で答えを言い、カルタを取る。

 ⑤取った枚数の多い子の勝ち

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お薦めポイント
 九九の量感をとらえられる。単元の最後に全部のカードをつなぎ合わせると、量感を伴った九九表が出来上がる。
 アレイ図の素地にもなる。私は、単元を通して九九カルタを扱い、子どもが考えを説明する際の武器にさせた。例えば、6の段を考える際、「2の段と4の段を足すと7の段になる」という子が出てくる。それをアレイ図で表すと下図のようになる。また、「かける数とかけられる数を入れかえても答えが同じ」というきまりもアレイ図で表せる。図を使って表現する力が育まれる。

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九九を楽しむアイディア教具 ②


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2、九九ぐるぐる
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やり方

 ① 九九を唱えながら、積の一の位の数字をつないでいく
  (例)7の段なら、0→7→4→1→8→5→2→9→6→3→0

 ② 素敵な模様が出来上がる


お薦めポイント
 素敵な形が出来上がり、九九の美しさを感じられる。
「1と9の段、2と8の段、3と7の段、4と6の段は、模様が同じになるね」と、楽しみながら、九九のきまりを見つけることができる。

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九九を楽しむアイディア教具 ①

楽しむアイディア教具
 遊びながら、九九のきまりを見つけたり、九九表の美しさを感じられる、アイディア教具。

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1、九九パズル
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やり方

 ① 九九表をパズルのようにばらばらに切ってピースを作る

 ② 数字の書いていない九九の表の枠を用意する

 ③ 数字の書いてない九九表の枠に、ピースを当てはめていく


お薦めポイント
 「縦が4ずつ増えているから、このピース4の段のところだよ。」などと、子供たちが楽しみながら、九九のきまりを見つけていく。
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話したくなる九九の豆知識 ⑤

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5、一の位の線対称
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やり方

 ① 一の位だけ書かれた九九表を用意する

 ② 右上から左下に斜めの線を書く。

 ③ 数が線対称に並んでいる。


お薦めポイント
 九九表の左上から右下に線を引くと、九九表に出てくる数は、鏡のように同じ数が向かい合わせになっていることが分かる。かける数とかけられる数を入れかえても答えは同じだからである。ここで「だったら…」と考える子供になってほしい。「だったら、右上から左下に線を引いてもくと、鏡のようになっているのかな?」そう考えて九九表の一の位だけを見てみると、綺麗な線対称に並んでいることが分かる。

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話したくなる九九の豆知識 ④

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4、九九表にある数とない数
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やり方

 ① 1から81までの数の中で、九九表に出てくる数が何個あるかを予想する。

 ② 数える。

 ③ 36個あることが分かる。

 ④ 答えが1個だけある数、2個、3個、4個ある数に分類して、
   九九表に色を塗る。

お薦めポイント
 九九は81通りある。しかし、答えは81通りあるわけではない。答えになる数は何個あるのかを、調べてみる活動も面白い。「かける数とかけられる数を入れかえても答えは同じなので、81の半分の40個ほどの答えがありそうだな」と予想できる子供になってほしい。実際に数えてみると、36個あることが分かる。
 中でも、答えが4つある数は、6、8、12、18、24の5個である。こうした約数の多い数を知っておくことも、数の感覚を豊かにすることになる。

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話したくなる九九の豆知識 ③


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3、足して100
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やり方

 ① 九九の表を用意する

 ② 答えを4つ合わせると100になるような数字を見つける
    (例:1+9+9+81=100、4+16+16+64=100)

 ③ この4つの数字を線で結ぶと、面白い形がたくさんできる
  例:(9、21、21、49 → 正方形)(4、36、6、54 → 長方形)
    (10、5、40、45 → ひし形)(2、8、9、 81 → 台 形)


お薦めポイント
 九九表の数の並びの美しさを感じることができる。この「美しい!」と思う気持ちを大切にしたい。
 また、足して百になる4つの式をアレイ図で表してみても面白いと思う。例えば、2×2、2×8、8×2、8×8の4つのアレイ図をつなぎ合わせると、10×10の綺麗な正方形のアレイ図になる。

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話したくなる九九の豆知識 ②


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2、指計算(6以上同士のかけ算)
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やり方

 ① かけ算の式に合わせて指を握る
   両手とも小指から順に、6、7、8、9、10と指を立てていく

 ② 6×8の場合
   左手:立てた指1本、握った指4本
   右手:立てた指3本、握った指2本

 ③ 十の位と一の位を計算する
   十の位→右手と左手の立てた指を足す 1+3=4
   一の位→右手と左手の握った指をかける 4×2=8

 ④ 十の位と一の位を合わせて答えを出す
   40+8=48 (6×8の答え)


お薦めポイント
 指を折るだけで答えが出ることが、子供には魔法のように思えるらしく、答えが出た時には歓声があがる。

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話したくなる九九の豆知識 ①


 子どもに話したくなる九九の豆知識。子どもは、そんな「おまけの話」が大好きである。

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1、指計算
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やり方

 <9の段の答えを指を使って求める>

 ① 指を10本出す

 ② かける数を決める。例えば4なら、左から4番目の指を折る。

 ③ 折った指より左にある指が、答えの十の位になる。

 ④ 折った指より右にある指が、答えの一の位になる。

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お薦めポイント
 9の段を学習すると、大抵、子供は「9の段の答えの、十の位と一の位を足したら10になるよ」と、きまりを発見する。そんな時に、そのきまりを生かせば、指で9の段の計算ができることを教えてやると、子供は喜ぶ。



 また、ただ「面白いね」で終わるのではなく、その理由を考えさせるのも面白いと思う。2年生では証明までは出来ないが、アレイ図を使えば、下図のように説明できる。

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九九の答え、というのは、1~81までの数のうち、いくつを占めるのだろう?

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九九の答え、というのは、1~81までの数のうち、いくつを占めるのだろう?

3×7も、7×3も、21なので、九九の表の上には、何度も出てくる「答え」があるし、一方で5×5のような、九九の表の上で1度しか出現しないものもいくつかあります。その意味では、だいたい、1~81の整数(81個の整数)の半分弱、ぐらいだろうか、と見通しを立てました。

地道に数えてみると、こうなることがわかりました。


4回登場する数が「5個」ありました。
3回登場する数が「4個」ありました。
2回登場する数が「22個」ありました。
1回登場する数が「5個」ありました。

合計で「36個」でした。(44%)

81個の数のうち、36個しか、九九の答えとしては登場しない、というのは、「けっこう、スカスカなんだなぁ」という感じがしました。



81以下の数字で、九九の答えとしては出てこない数字はなんだろう。今度はそこに興味がいきました。(直感的に考えたのは”出てこない数は素数でしょ?”と。もちろん、答えの一部ではあるのですが、100以下の素数は25個しかないので、素数以外の数字で、九九の答えにならない数があるはずだな、と思いました。

そこで、少し、色を付けてプロットしてみました(赤、黄、緑、青=4回、3回、2回、1回、です。ヒートマップ的に、多いほど、あったかい色にしてあります)。

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