算数の記事 (1/3)

折り紙 風船

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フジモトキューブ

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サイコロ学習法

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サイコロ学習法

男の子を伸ばす母親は、ここが違う!などの著書で知られている松永暢史氏が提唱しているものですが、要するに、10面体や20面体のサイコロを利用して、計算の練習をするという、至極単純なものです。

10面体(1桁)2個の足し算から始めて、足し算、引き算、掛け算、割り算、2個、3個、組み合わせることでいろんな計算が出来るでしょう。最終的には、インド式のような20までの九九が暗記できればいいですが、そこまでできなくても、十分な計算のトレーニングになるでしょう。

「サイコロを振って、計算をして、答えの大きいほうがポケモンカードをゲット!」などとすれば、子供も喜んで食いついてくれるかもしれません。
楽しく前向きにやっている方が学習効果が高いといわれますので、100ますが合わない子供には、こういうものを活用するといいと思います。

10面体や20面体サイコロの購入法
松永氏らによる「暗算・算数に遊びながら強くなる びっくりサイコロ学習法」を買えば、サイコロがついてきますが、楽天やAmazonでサイコロだけも購入可能です。我が家では、10面体4個と20面体3個を購入しました。1個あたり105円、送料を入れても900円とかかりませんでした。

サイコロ購入が出来る店として、EDA GARAGE(楽天)と銀河企画オンライン(Amazon)を紹介しておきます。

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かけ算の九九、答えを全部足すといくつになる?

かけ算の九九、答えを全部足すといくつになる?

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九九の答えを全部足すと、答えは、45x45 = 2025 になります。

1の段の答えの合計は、1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
2の段の答えの合計は、1の段の答えの2倍=45x2、
3の段の答えの合計は、1の段の答えの3倍=45x3、
4の段の答えの合計は、1の段の答えの4倍=45x4、
5の段の答えの合計は、1の段の答えの5倍=45x5、
6の段の答えの合計は、1の段の答えの6倍=45x6、
2の段の答えの合計は、1の段の答えの7倍=45x7、
8の段の答えの合計は、1の段の答えの8倍=45x8、
9の段の答えの合計は、1の段の答えの9倍=45x9。
これを全部合計すると、
45+45x2+45x3+45x4+45x5+45x6+45x7+45x8+45x9
45で式をまとめると
=45x(1+2+3+4+5+6+7+8+9)
1~9を合計すると45になりますから、
=45x45
=2025。

いかがでしたか?1から9までの合計も工夫すると楽に計算できます。

…………………………


九九の答えを全部足したらいくつかな。

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計算は簡単で、
S(N)=1+2+...+N = N(N+1)/2として、1の段の和はS(9)、2の段の和はS(9)*2, ..,,9の段の和はS(9)*9なので、
S(9)(1+2+...+9)=S(9)^2=45^2=2025が答えとなる。
Wikipediaで2025を調べたらhttps://ja.wikipedia.org/wiki/2025
ちゃんと
「掛け算九九の表にある数を全て足すと2025となる。」
と書いてあり、また
「2025=1^3 + 2^3 + ... + 9^3」
とも書いてあった。1からNの3乗の和の公式がS(N)^2であることは確かに高校時代習った。なぜそうなるかの簡単な理由は忘れたので、図で書いて証明してみた。九九の表を図のように色分けし、同じ色のところ(左上からk番目とする)の数字の和はS(k)*k + S(k-1)*k = k(k+1)/2*k + (k-1)k/2*k = k^3となっている。美しいやね。



半径が5の円の面積はいくらでしょう?

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ヒント:円の面積は「直径×直径×0.79」で求めます。これを円法七九と呼びます。

盗人隠

盗人隠

正方形の四角と四辺(計8箇所)に2種類の数を配置します。(図の黒点)
8箇所の合計数が36のとき、この数字はそれぞれいくらでどう配置されるでしょうか?

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ヒント:2種類の数はそれぞれ同じ数だけ配置します。つまり各4箇所ずつです。

三角形

三角形

底辺甲が4、高さ乙が10のときの三角形の面積はいくらでしょう?

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ヒント:三角形の公式は今も昔も同じです。

円陣

円陣

図の丸の中に2~9の数字を入れて、縦・横・小円・大円の和が22になるように配置してください。
ただし真ん中の1はどの計算においても入れません。
1を抜いて計算してください。

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ヒント:一番上の丸には9が入ります。

方陣

方陣

図のような九つの箱の中に1~9までの数字を、縦・横・斜めどこでも和が15になるように配置してください。
ヒント:真ん中には5が入ります。

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油わく算

油わけ算

5升の桶と3升の桶があります。
この2つを使って4升を量るにはどうすればよいでしょうか?
ただし油は自由に汲み入れたり捨てたりできます。


ヒント:4升を3升+1升と考えます。
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小町算は美人

<小町算>
1~9のような数字がならんだ下のような計算を小町算とよびます。
123+45-67+8-9=100
12+3+4+5-6-7+89=100

<なぜ「小町」算?>

小野小町(おののこまち)は,今から1200年程昔の平安時代の歌人です。幼い頃から歌や踊りはもちろん,琴,書道となんでも上手だったそうです。日本で,世界三大美人というとエジプトのクレオパトラ,中国の楊貴妃(ようきひ)とならんで数えられることでも有名です。
小野小町が実際に小町算を解いたかは定かでありませんが,語源は,小野小町が深草少将(ふかくさのしょうしょう)に「自分のもとに100夜続けて通えば結婚してあげます。」と約束し,その男性が99夜通って,あと1夜というところで亡くなってしまった! という話にちなんでいるようです。
一方,ヨーロッパでは,このような計算を「センチュリーパズル」とよびます。センチュリーとは,一世紀=100年 のことです。

それはそうと,美しくならんだ数字を計算すると,これまたきれいな数字の結果が出てくる(上の例では100!)というのは感動さえおぼえます。
小町算以外にも「111×111=12321」(答えが1・2・3・2・1!)なども面白い計算です。また,自動車のナンバープレートの数字や電車の切符の4けたの数字で10をつくることは,みなさんも経験がありませんか?

小町算

小町算

1 2 3 4というように1~9までの数字が横に並んでいます。
この間に符号(+-×÷)を入れて答えが100になる式を作ってください。
12のように数字をくっ付けても構いません。


ヒント:沢山の種類があります。まずは100を分解して考えてみましょう。
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俵杉算

俵杉算

俵が積んであります。
一番上が1俵、その下の段が2俵、その下の段が3俵……というようにして一番下の段が13俵になるとき、俵は全部でいくつあるでしょう?


ヒント:三角形(ピラミッド型)を四角形にして考えましょう。
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一筆書き

【問題】5つの文字『田』『目』『日』『白』『中』がある。この中で人筆書きできる文字はいくつあるか?
※ただし、ひと筆書きする際に重ね書きはできないものとする。
1.1個
2.2個
3.3個
4.4個
5.5個
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数の認識

小さい子どもは、どうやって数を認識していくのか。

たいていの子どもの場合、「としはいくつ?」と聞かれて、うまく曲げられない指を必死に折って人に見せることから始まるように思う。
2つぐらいから始まって、3つ、4つ、5つ…。
たまに間違うことがあるのはご愛敬。だいたいの子が5歳までに、5が数えられるようになる。

やがて、お風呂の中での「10数えたら出ようね。」「1、2、3…。」が始まるが、これは本当にその数を認識したことにはならない。
数を配列どおりに唱えているだけにすぎない場合もあるからである。

目に見えるもの、何か形になったり形を変えられたり増やしたり減らしたりできるものを、手や体を動かしながら数えることが、数を認識するのに大切だと思う。
カレンダー、時計など、毎日目にするもの、カルタ、トランプなどの遊び、おやつやおかずの配膳…。
カレンダーは、大事な日に○をつけ、「あと何日」と数えることで、自然と数のたたし算、ひき算を覚える。7のだんのかけ算にも結び付く。
時計は、もちろんデジタルでなくアナログで。「はりが○まで進んだら」「何分前は…」と考えることで、たし算、ひき算に結び付く。
カルタは、取った枚数を友達と比べるときに声を合わせて「1、2、3…」と数えていくと、1対1対応によって、数を確かに数えることを覚える。どの子が何枚多いと、数の大きさを比べることもできる。
トランプには、様々な遊び方があり、7並べやスピード、神経衰弱など、数を認識したり配列を考えるのに適している遊びだと思う。

1年生の初期には、トランプの代わりに算数セットの数カードを使って、はじめから順に並べたり、逆から並べたり、2ずつとんで並べたり、人に言われたカードを取ったり…、そんないろいろなカード遊びをさせたい。

なかなか数が正しく数えられない子に、口で数を唱えるスピードと指で数えるものを指すスピードが合っていない場合がある。ひとつひとつを確実に指で押さえながら、ゆっくり数えることを教える。成長して運動能力がついてくれば、正しく数えられるようになる。

それにしても、古代、まだヒトが数を知らなかった頃、石ころや縄や線を使って、それと比べることで数を確かめたこと、現代でもまだ5つまでの数しか認識できない部族もあることを考えれば、今の日本の小学生は大したものではないか。焦ることはない…と思われるのである。

円周率

面白シリーズ①「円周率は乱数か?」


円周率の数列は、出現する数字に循環性や偏りがなく、ランダムである(らしい)
つまり数列を十分にじっくり探せば、
誕生日や電話番号なんかも
ほぼ確実に存在する。
ということは、もっともっと十分にじっくりと探せば
ASCIIコードに置き換えた聖書の全文や、
音楽の譜面、画像データ等なども
10進数というデータに置き換わって存在してるはずだと言える
つまり…
結論:円周率にはこの世の全てが記されている
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※証明はされてない。
1兆桁までの数字の出現数を数えると、
大体どの数字も1000億回ずつでてるという話。
つまり、それなりに良い精度の乱数。


※五兆桁までの各数字の登場回数
0:4999億9897万6328回 1:4999億9996万6055回
2:5000億0070万5108回 3:5000億0015万1332回
4:5000億0026万8680回 5:4999億9949万4448回
6:4999億9893万6471回 7:5000億0000万4756回
8:5000億0121万8003回 9:5000億0027万8819回

※ファイマン・ポイント

円周率の最初の数百桁には、多くの2個連続した数字(黄色)と いくつかの3個連続した数字(緑色)が含まれる。6個連続した数字(赤色)がこの少ない桁数のなかに現れることは、興味深く、奇異でさえある。
ファインマン・ポイント(英語:Feynman point)とは、円周率を十進法で表記したときに、小数点以下762桁目から始まる6個の「9」の並びのことである。リチャード・ファインマンが円周率をこの桁まで暗記したいと講義のなかで述べたことから名づけられた。ファインマンは実際にこれを暗誦し、最後に「9, 9, 9, 9, 9, 9 など(and so on)」と締めくくった。

※狂わされた人生
ランダムに見えるが法則性は必ずある。
といって、円周率をもう30年以上研究してる数学の研究者いた。
かなりなかわりもんらしく、ほとんど人と接触もせず、
自宅にこもりっきりでやってるそうだ。
昔は家族もいたんだが、すでに離婚。
その研究者の奥さんがある日、晩飯にピザを作ったらしく、
その丸いピザを切り刻む様子をみて発狂して、
頭がおかしくなり奥さんにも見放されたって話が印象深かった。
円周率に人生狂わされた数学者。

※円周率は割り切れない。(永遠に続く)
これは証明されている。
円周率は循環しない。
これも証明されている。(循環するならば分数で表現できてしまう。)
現在の数学では、上記2つが成立する無理数は、永遠に規則性が発生しない乱数だと考えられている(未証明)
それだけの話。

※語呂合わせ記憶法
産医師異国に向かう 産後厄なく 産婦みやしろに 虫散々闇に鳴く
3.14159265 358979 3238462 643383279 (30桁)

英語圏では語呂合わせがうまくいかないため、英単語の文字数で覚える方法がいろいろと存在している。
Yes, I have a number
3 . 1 4 1 6 (小数点以下4桁までで四捨五入)

※記憶・暗唱
『ギネス世界記録』によれば、円周率暗唱の世界記録は
2005年11月20日に6万7890桁を暗唱した中国人、呂超(西北農林科技大学大学院生)が記録したものである。
2004年9月25日、原口證が8時間45分かけて円周率5万4000桁の暗唱に成功し、従来の世界記録を更新した。しかしながら、実際はより多くの桁を覚えていたため、2005年7月1日--7月2日に再挑戦し、8万3431桁までの暗唱に成功した。
2006年10月3日午前9時--10月4日午前1時30分(16時間30分)の挑戦で円周率10万桁の暗唱に成功した。ギネス・ワールド・レコーズに申請中である。

※2011年現在では、円周率は小数点以下10兆桁まで計算されている。

鶴亀算 (和算)

鶴亀算

鶴と亀が合わせて32頭います。それぞれの足の和は94になるとき、鶴と亀は何頭ずついるでしょうか?
(鶴は足2本、亀は足4本です)

ヒント:全部鶴だと仮定すると足は何本になるでしょう?
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流水算

流水算

川上と川下から2隻が同時に出発します。
船の速さはともに時速5kmで川上と川下の間の距離は100kmです。
川が時速3kmで流れているとすると、2隻が出会うのは何時間後でしょうか?


ヒント:川上の船=5+3=8km/時、川下の船=5-3=2km/時
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嫁入り

嫁入り

26歳の男性が8歳の少女に一目惚れします。
親に結婚を申し込みますが、あまりに若すぎるということで、少女の年齢がその男性の年齢の半分になったら結婚を許してもらえることになりました。
それぞれ何歳のときでしょう?

ヒント:26-8=18歳。これが少女が男性の年齢の半分に達する歳。
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ねずみ算

ねずみ算

1月に2匹のねずみが12匹の子を産みました。
次の月(2月)にはこの14匹が7組となってそれぞれ12匹ずつ新たに子を産みます。
合わせて98匹になります。
このように続けていくと12月末には全部で何匹になるでしょうか?

ヒント:2×(7の12乗)を計算します。
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